Triangle isocèle d'aire maximale

  \(\text A\text B\text C\)  est un triangle isocèle tel que \(\text A\text B = \text A\text C = 10\)  cm.
On veut déterminer la longueur de \(\text B\text C\)  afin que l'aire de ce triangle soit maximale.

Partie 1 -  Conjectures

Dans ce fichier de géométrie dynamique a été représenté le triangle isocèle \(\text A\text B\text C\) .

1. En déplaçant le point \(\text B\) ou le point \(\text C\) , conjecturer la valeur de \(\text B\text C\) qui maximise l'aire du triangle.
2. Quelle semble être la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{CAB}}\) ?

Partie 2 - Démonstration

On pose \(x\) la longueur de \(\text B\text C\) . On note \(\text H\)  le pied de la hauteur issue de \(\text A\) .

    a. Justifier que \(x\)  appartient à \(\left[0 \ ; \ 20\right]\) .
    b. Exprimer \(\text B\text H\) , puis \(\text A\text H\) , puis l'aire du triangle \(\text{ABC}\)  (notée \(S\) ) en fonction de \(x\) .
    c. Vérifier que \(S(x) = \dfrac{1}{4} x\sqrt{400-x^2}\) pour \(x\)  appartenant à \(\left[0 \; ; \; 20\right]\) .
    d. Établir le tableau de variations de \(S\)  sur \(\left[0 \; ; \; 20\right]\) . En déduire la valeur exacte de \(x\)  pour laquelle l'aire du triangle \(\text{ABC}\)  est maximale.
    e. En déduire la mesure en degrés de l'angle \(\widehat {\text{CAB}}\) .